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sábado, 22 de noviembre de 2014

GALILEO LA CAÍDA DE LOS CUERPOS

GALILEO
-LA CAÍDA-
-DE LOS-
CUERPOS


En esta entrada, nos dispondremos a averiguar el modelo de la gravedad. Este como bien conocemos (-9.8m/s^2), es una aceleración, por lo que hemos de conseguir encontrar la velocidad media de la caída de un cuerpo y relacionarlo con el incremento de tiempo en durante el que cae.
Primero hemos realizado un experimento (realmente nuestros profesores) en el que con una bola metálica, la cual desconocemos su composición, la dejamos caer desde un punto. Pero no es un punto cualquiera, ya que previamente habíamos puesto una cinta métrica en la pared de tal manera de que el 0cm, es el punto desde donde lanzamos nuestro móvil. El SR lo situamos sobre los 130 cm del suelo (esta medida no la tenemos en cuenta así que no es significativa). Con una cámara, grabamos la caída de la bola y con un programa de edición de video, lo dividimos en fotogramas y tomamos una serie de datos:

POSICIÓN - Y - metros
TIEMPO - T - segundos
0
0
-0.025
0.08
-0.12
0.16
-0.27
0.24
-0.49
0.32
-0.78
0.4
-1.13
0.48


Como podemos observar, las medidas de posiciones, no siguen una progresión geométrica como ocurre en los MRU. Resulta que siguen una progresión aritmética. Por este motivo, podemos afirmar que sufre una aceleración y además, en la gráfica, no  se mostrará como una recta, sino que presentará una parábola.

A continuación os mostramos dos gráficas v-t e y-t. Para cada tramo vamos a calcular su velocidad media. Tomamos el primer dato de altura y se la restamos a la altura inicial.

Con la pendiente podemos calcular el valor de la velocidad para cada tramo. La velocidad es negativa ya que tiene una pendiente negativa y además, cada se va incrementando. Como podemos observar hay aceleración por efecto de la gravedad, nuestro objetivo. Podemos observar que al principio el espacio recorrido es muy corto, pero a medida que el efecto de la gravedad actúa sobre la bola, va aumentando su velocidad progresivamente hasta llegar al suelo. Podemos asegurar entonces, que el espacio recorrido es cada vez mayor.


Con los datos obtenidos, calculamos la velocidad de la bola en función de cada intervalo de tiempo.

T (s)
Y (m)
V (m/s)
0
0
0
0,08
-0,025
-0,3125
0,16
-0,12
-1,1875
0,24
-0,27
-1,875
0,32
-0,49
-2,75
0,4
-0,78
-3,625
0,48
-1,13
-4,375

Para averiguar la velocidad instantánea, tendremos que restar un dato menos su anterior y después dividirlo entre el tiempo que tarda en  recorrer el intervalo (v (t) = incremento de y/incremento de t) Me explico con un ejemplo:




v=-0,025 m-0 m/0,08 s-0 s=-0,025 m/0,08s= -0,3125 m/s
v=-0,12 m+0,025 m/0,16 s-0,08s=-0,095 m/0,08s= -1,1875 m/s
v=-0,27 m+0,12 m/0,24 s-0,16s=-0,15 m/0,08s= -1,875 m/s
v=-0,49 m+0,27 m/0,32 s-0,24s=-0,022 m/0,08s= -2,75 m/s
v=-0,78 m+0,49 m/0,4 s-0,32s=-0,29 m/0,08s= -3,625 m/s
v=-1,13 m+0,78 m/0,48 s-0.4s=-0,35 m/0,08s= -4,375 m/s

Con los datos que  hemos ido obteniendo, los hemos querido plasmarlos en una gráfica v-t, de tal manera de que la pendiente de esta, corresponderá a la aceleración y a la gravedad.  


a= delta v / delta T
a= v-vo / t-t0


Esta gráfica es prácticamente una línea recta que parte de las coordenadas (0,0). La velocidad es negativa, al ser una caída libre. Además, a  medida que pasa el tiempo, la velocidad del objeto es cada, vez mayor, afirmando que lleva una aceleración. La aceleración o la pendiente, son constantes, por ello, podemos decir que es este movimiento describe un MRUA. Este movimiento, acorde con nuestras expectativas, es el que buscábamos ya que se trata de la gravedad, la cual es la que causa que la bola baje al suelo y con esta gráfica la podemos calcular (únicamente averiguando la línea de tendencia, pues el valor que multiplica a la x es la gravedad o calculando la aceleración usando sólo el punto inicial y el final).

Línea de tendencia= -9.51x+0,27  (por lo tanto, el valor de la gravedad es -9.51 m/s2)
a=(-4,375m/s-0m/s)/0,48s-0=-4,375 m/s/0,48s= -9.12 m/s2

Como vemos, el valor que más se asemeja al valor teórico (-9,8m/s2) es el que obtenemos con la línea de tendencia. Este valor es bastante aproximado, pues hay un error absoluto de 0.29 y un 3% de relativo, valores muy reducidos, cosa buena para este experimento.
Estos errores, se deben a diversos motivos. Los más significativos, son el rozamiento del aire con el móvil, el cuál, crean una resistencia haciendo que el móvil sufra otras aceleraciones que todavía no sabemos calcular. Además, los instrumentos de medida, también causa esta discrepancia de datos, pues al no ser muy exactos y en parte, los datos han sido un poco estimativos pues no se ha mirado muy detenida ni detalladamente la posición del móvil en tal segundo. También han habido discrepancias porque las velocidades instantáneas se han tomado en intervalos de tiempo y o en un instante. Además como somos humanos y los datos los hemos tomado a ojo, hay errores por parte de la persona que cronometra y del que lo suelta. Por estos dos motivos principalmente, hay una discrepancia de datos.

Por este motivo, hemos querido averiguar los datos teóricos para compararlos con los experimentales. Para esta parte, empleamos estas fórmulas:
> y=y0+v0(t-t0)-1/2g(t-t0)2 siendo y0,v0,t0 nulo (por lo tanto quedaría así : y(t)=-1/2g(t-t0)2)
>v=v0-g(t-t0)   cosa que quedaría así v(t)=-g(t-t0)
Con estas fórmulas, obtendremos estos valores

T (s)
Y (m)
V (m/s)
0
0
0
0,08
-0,03
-0,78
0,16
-0,13
-1,57
0,24
-0,28
-2,35
0,32
-0,5
-3,14
0,4
-0,78
-3,92
0,48
-1,13
-4,7

Como podemos apreciar existe una pequeña discrepancia entre el modelo teórico y del experimental. A pesar de ello, al mostrarlo en una gráfica, se ve ambos resultados son muy aproximados aunque como dijimos antes y los motivos de ello, hay una varianza de datos.


miércoles, 15 de octubre de 2014


El pasado día 25 de septiembre, todo nuestro curso de 4º ESO del Colegio Base nos convertimos en Eratóstenes, acometidos en  un mismo proyecto: medir el radio de la Tierra, experiencia que realizó Eratóstenes hace más de dos mil años, pero con medios muy distintos.
Eratóstenes dedujo que si lograba determinar el ángulo con el cual los rayos del Sol incidían sobre Alejandría  (sobre Siena los rayos incidían de forma perpendicular, por tanto el ángulo sería 0º), podría delimitar el radio terrestre.

Para tal experiencia, nos involucramos en un proyecto universal llamado Medida del Radio de la Tierra. Nuestra participación consistió en estar desde la 12:30 hasta las 15:20 en el patio del comedor, empleando un gnomon (objeto alargado cuya sombra se proyectaba sobre una escala graduada) de 77,76 cm de altura, un trozo de papel kraft, en dirección este-oeste donde marcamos la posición de la sombra que proyectaba el gnomon a los 5 min con un rotulador. También disponíamos de celo o cinta aislante para pegar el papel kraft al suelo y que no se mueva. También usamos una brújula electrónica para cerciorarnos de que el papel estuviese en dirección este-oeste, y un reloj preciso y exacto para tomar las medidas.
IMG-20141012-WA0037.jpg

Entonces, nos dispusimos unas horas antes del cenit solar, colocamos el papel kraft sobre el suelo con la orientación previamente dicha, y sobre éste pusimos el gnomon con la finalidad de que la sombra de éste fuera proyectada sobre dicho papel. Nos dimos cuenta que nuestro gnomon no se debería descolocar a lo largo de la experimentación, y marcamos por ello su contorno con un rotulador.

GRUPO
Longitud de la sombra (cm)
Hora cenit
Altura gnomon (cm)
1
70,5
14:00:00
78,5
2
71,8
14:10:00
77,5
3
69,6
14:00:00
78,5
4
72
14:02:00
76
5
71,65
14:03:00
78,3
Promedios
71,11
14:03:00
77,76
Coordenadas del Colegio Base
40º 30' 36'' N ; 3º 36' 40'' O
Distancia al ecuador
4503 km
IMG-20141012-WA0032.jpg

IMG-20141012-WA0035.jpg














Tras marcar todas las posiciones de la sombra del gnomon, realizamos la segunda parte del trabajo experimental en la siguiente semana, calcular la medida de la sombra mínima en el cenit solar (14:03:00 horas). Para ello, marcamos la posición donde se encontraba el centro del mango del gnomon. Tras conseguirlo, empleamos este punto como centro del compás empleado para realizar un arco desde la primera marca. Este compás era casero, pues consistía en una cuerda conectada a un cubilete de madera con un agujero para meter el lápiz. Previamente, habíamos unido cada marca con una recta.  Trazamos este arco de circunferencia que corta a  la recta en dos puntos, a los que llamamos P1 y P2. Finalmente hicimos la mediatriz de estos dos puntos, dándonos la longitud de la sombra y el cenit, lo que significa que están a la misma longitud del gnomon.Al trazarla, el resultado sería la sombra más corta, por lo tanto podríamos calcular la hora solar. Además, con la altura, podemos calcular el ángulo que corresponde a la relación de la altura del gnomon con la sombra. La longitud de la sombra, la media hora cénit y la altura del gnomon se representan en la gráfica de datos que reúne los demás datos de los otros grupos.

Pero claro, solo con los datos experimentales que hemos tomado, la altura y la sombra del gnomon, no podemos averiguar el radio de la Tierra, por ello, hemos necesitado conocer los datos de distintos puntos de la tierra. Por ello, gracias al proyecto internacional en el que estamos inscritos, pudimos conocer los datos de dos colegios que midieron el mismo día (cosa importantísima).

Centro Educacional Nosso Mundo
Latitud 22º 57' 0'' S
Longitud 43º 30' 0'' O
Distancia al Ecuador:
2551.85 Km
gnomon:147cm
sombra: 50cm


Distancia entre Colegio Base y Centro Educacional Nosso Mundo




20141012_204147(0).jpg




Como podemos apreciar en la imagen de arriba, vemos cómo calculamos el radio de la Tierra, empleando los datos de Brasil. Como apreciamos, comenzamos averiguando los grados correspondientes a cada gnomon y su sombra (llamados ɑ1 y ɑ2). En ambos casos, hemos calculado el arcotangente de la relación entre la sombra y la altura del gnomon, así, obtuvimos (ɑ1) 20.30º en Brasil y (ɑ2) 42.30º en España. Tras esto, averiguamos la distancia entre ambos puntos, mediante la suma de las distancias entre los dos colegios y el Ecuador. Nos da como resultado, una distancia de 7054 km. Una vez hecho esto, calculamos en grado (ɑ)que forma la coincidencia del estiramiento de ambos gnomons. Si has buscado información o la conoces ya sobre este teorema, sabrás que este ángulo lo conseguimos restando ɑ2 y ɑ1. Lo que ocurre es que el estar estos dos puntos en distintos hemisferios, hemos de sumar los ángulos en vez de restarlos. Tras averiguar este ángulo, hacemos una proporción:
Al sustituir y simplificar, nos dan un resultado bastante próximo al dato real. Obtuvimos 6616 km y el dato real son 6371 km. Además, hemos querido calcular el error relativo y absoluto de nuestro dato para saber por cuánto nos hemos equivocado con el valor real.
Ea = 6616 km - 6371 km = 245 km
Er = 100 * 245 km / 6371 km = 3.85 % de error.
Las razones por la que el radio de la Tierra no nos da el valor real, sino que difiere muy poco, son que durante el proceso hemos utilizado medias que no son las precisas, y que probablemente, otra razón, podría ser los fallos en la referencia de datos del otro colegio, o en ambos, pero el valor que nos sale aún así es muy aproximado.
El valor admitido actualmente es de 6.371 km lo que representa que se ha cometido solamente un 3.85% de error ¡todo un éxito!
Este trabajo nos ha parecido muy interesante, ya que hemos calculado el radio de la Tierra, siguiendo un proceso más o menos similar al que utilizó Eratóstenes, desde el punto de vista experimental y de cálculo.

Portugal
Latitud 37º 8' 0'' N Distancia al Ecuador: 4128 Km
Longitud 8º 1' 0'' O
gnomon:103,1 cm
sombra: 88,5 cm

Distancia entre Colegio Base y Escuela Secundaria de Loulé.

20141012_203310.jpg

Como podemos apreciar en la imagen de arriba, vemos cómo calculamos el radio de la Tierra, empleando los datos de Portugal. Como apreciamos, comenzamos averiguando los grados correspondientes a cada gnomon y su sombra (llamados ɑ1 y ɑ2). En ambos casos, hemos calculado el arcotangente de la relación entre la sombra y la altura del gnomon, así, obtuvimos (ɑ1) 40.7º en Portugal y (ɑ2) 42.30º en España. Tras esto, averiguamos la distancia entre ambos puntos, mediante la diferencia de las distancias entre los dos colegios y el Ecuador. Nos da como resultado, una distancia de 374 km. Una vez hecho esto, calculamos en grado (ɑ)que forma la coincidencia del estiramiento de ambos gnomons. Si has buscado información o la conoces ya sobre este teorema, sabrás que este ángulo lo conseguimos restando ɑ2 y ɑ1. Tras averiguar este ángulo, hacemos una proporción:
Al sustituir y simplificar, nos dan un resultado muy lejano del dato real. Obtuvimos 13428 km y el dato real son 6371 km. Además, hemos querido calcular el error relativo y absoluto de nuestro dato.
Ea = 13428 km - 6371 km = 7057 km
Er = 100 * 7057 km / 6371 km = 110.77 % de error.
Nos da un dato muy apartado de la realidad porque las distancia entre España y Portugal es menor que la distancia “límite”(400 km).

Córdoba - Argentina
Latitud 31º 24' 00" S
Longitud 64º 11' 00" O
Distancia al Ecuador 3.491,42 km
gnomon 30,0 cm         
sombra 17,5 cm

Distancia entre Colegio Base y Córdoba, Argentina

20141015_194138.jpg


Como podemos apreciar en la imagen de arriba, vemos cómo calculamos el radio de la Tierra, empleando los datos de Córdoba, Argentina. Como apreciamos, comenzamos averiguando los grados correspondientes a cada gnomon y su sombra (llamados ɑ1 y ɑ2). En ambos casos, hemos calculado el arcotangente de la relación entre la sombra y la altura del gnomon, así, obtuvimos (ɑ1) 30.11º en Argentina y (ɑ2) 42.30º en España. Tras esto, averiguamos la distancia entre ambos puntos, mediante la suma de las distancias entre los dos colegios y el Ecuador. Nos da como resultado, una distancia de 7994 km. Una vez hecho esto, calculamos en grado (ɑ)que forma la coincidencia del estiramiento de ambos gnomons. Si has buscado información o la conoces ya sobre este teorema, sabrás que este ángulo lo conseguimos restando ɑ2 y ɑ1. En este caso es sumando, ya que se sitúan en distintos hemisferios. Tras averiguar este ángulo, hacemos una proporción:
Al sustituir y simplificar, nos da un resultado muy cercano del dato real. Obtuvimos 6325 km y el dato real son 6371 km. Además, hemos querido calcular el error relativo y absoluto de nuestro dato.
Ea = 6325 km - 6371 km = 46 km
Er = 100 * 46 km / 6371 km = 0.72 % de error.
!Un valor muy acertado¡ Realmente, el que más se ha acercado de entre todos los que hemos calculado.